برآورد تابع چگالی به روش لگ-اسپلاین

در این پایان نامه پس از مرور تعدادی از روش های ناپارامتری برآورد چگالی که تاکنون ارائه شده اند، به معرفی اسپلاین ها، b-اسپلاین ها و روش بهینه سازی نیوتون-رافسون پرداخته ایم. مدل های خطی گسترش یافته را بیان و حالت خاص آن، یعنی مدل لگ-اسپلاین برای تابع چگالی را معرفی کرده ایم. در روش لگ-اسپلاین، ابتدا فرض می کنیم تابع چگالی جامعه به شکل تبدیل لجستیک است و سپس برآورد پارامترهای مجهول مدل را با استفاده از برآوردگر درست نمایی ماکزیمم به دست می آوریم که از روش نیوتون-رافسون محاسبه می شوند. به منظور به دست آوردن تعداد بهینه ی توابع پایه، از دو روش انتخاب گام به گام گره ها و ارائه ی برآوردگرهای سازگار ضعیف و قوی برای تعداد توابع پایه استفاده می کنیم. روش گام به گام از ترکیب دو روش اضافه کردن گره ها و حذف کردن گره ها تشکیل شده است که در آن ها به ترتیب آماره های رائو و والد به کار گرفته شده اند. در روش ارائه ی برآوردگر سازگار، تعداد توابع پایه را به صورت یک پارامتر مجهول در نظر می گیریم و سپس برآوردگرهایی را برای این پارامتر با استفاده از یک جانشین برای فاصله ی کولبک-لیبلر به دست می آوریم. اثبات می شود که بر حسب نوع محک اطلاعی که در به دست آوردن این برآوردگرها استفاده می کنیم، برآوردگرها سازگار ضعیف یا قوی خواهند بود. در انتها با استفاده از بسته ی لگ-اسپلاین موجود در نرم افزار آماری r به شبیه سازی پرداخته ایم و روش های ارائه شده برای یافتن تعداد بهینه ی توابع پایه را مقایسه کرده ایم.